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[主观题]
设为拓扑空间族的积空间,并且对于每一γ∈Г,确定了xy,的子集Yy.证明:
设
为拓扑空间族
的积空间,并且对于每一γ∈Г,确定了xy,的子集Yy.证明:
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设
为拓扑空间族
的积空间.证明:若对于每γєГ,Xy有子基
则
是积拓扑的子基.
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第2题
设为拓扑空间族的积空间,Г1为Г的非空子集.定义使得对于每一满足条件:对于任一证明:Pr1
设
为拓扑空间族
的积空间,Г1为Г的非空子集.定义
使得对于每一
满足条件:对于任一
证明:Pr1为在上的连续开映射.
的积空间
正则或完全正则空间,则每一坐标空间相应地为具有同一性质的空间.第4题
设Г为一集合,对于每一为拓扑空间.记为X的以为子基的拓扑.证明:若为X的拓扑,并且对于每一-又则.
设Г为一集合,对于每一
为拓扑空间.记
为X的以
为子基
的拓扑.证明:若
为X的拓扑,并且对于每一-
又则
.
第5题
设为拓扑空间X的连通子集族证明:若对于任意a,β∈Г,都存在Г中有限个成员使得不是隔
设
为拓扑空间X的连通子集族证明:若对于任意a,β∈Г,都存在Г中有限个成员
使得
不是隔离的子集,则
为连通子集.
并指出,定理4.1.6是这个习题的特例.
第6题
在集合R2中给定一个子集族.验证R2有唯一的拓扑为它的一个子基,令A = {(x.y)∈R2:x
在集合R2中给定一个子集族.验证R2有唯一的拓扑为它的一个子基,令A = {（x.y)∈R2:x
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在集合R2中给定一个子集族.
验证R2有唯一的拓扑
为它的一个子基,令
A = {(x.y)∈R2:x +y=1}.
问A作为拓扑空间
的一个子空间时有什么特点？(提示:证明拓扑空间
是一个离散空间. )
第7题
设为实数集合的下限拓扑空间(见例2.6.1),证明:(1)的每一成员都是既开又闭的集合.(2)若为实数空
设为实数集合的下限拓扑空间（见例2.6.1),证明:（1)的每一成员都是既开又闭的集合.（2)若为实数空
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设
为实数集合的下限拓扑空间(见例2.6.1),证明:
(1)
的每一成员都是既开又闭的集合.
(2)若
为实数空间R的通常的拓扑,则
.
(3)
有一子基为
第8题
设是一个拓扑空间,∞是一个不属于X的元素.记X* = XU {∞}.令是Xn的一个子集族,使
设
是一个拓扑空间,∞是一个不属于X的元素.记X* = XU {∞}.令
是Xn的一个子集族,使得U⊂Xn是.
的一个元素当且仅当或者
或者Xn- U⊂ X是X的闭集,并且作为X的子空间是一个 空间.证明.
(1)
是Xn的一个拓扑;
(2)拓扑空间
是一个
空间.
为X的任意子集族,A,B为X的任意子集,证明:
第10题
设X,Y为拓扑空间,为X的开集族并且证明:映射f:X→Y为连续映射当且仅当对于任意为连
设X,Y为拓扑空间,
为X的开集族并且
证明:映射f:X→Y为连续映射当且仅当对于任意
为连续映射.
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