题目内容
（请给出正确答案）
设
是一个拓扑空间,∞是一个不属于X的元素.记X* = XU {∞}.令
是Xn的一个子集族,使得U⊂Xn是.
的一个元素当且仅当或者
或者Xn- U⊂ X是X的闭集,并且作为X的子空间是一个 空间.证明.
(1)
是Xn的一个拓扑;
(2)拓扑空间
是一个
空间.
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第2题
设X是一个拓扑空间.令
证明:
是映射空间Rx(一致收敛度量)的一个闭子集(因此它作为Rx的度量子空间是完备的).
第3题
在集合R2中给定一个子集族.
验证R2有唯一的拓扑
为它的一个子基,令
A = {(x.y)∈R2:x +y=1}.
问A作为拓扑空间
的一个子空间时有什么特点？(提示:证明拓扑空间
是一个离散空间. )
第4题
设X和Y是两个拓扑空间f:X→Y是一个连续映射,证明:如果X是一个
空间,则f(X)也是一个
空间.
第5题
设X是一个拓扑空间;
是X中的一个子集族证明:如果对于每一个
,集.合Ay的导集是闭集,则集合
的导集是闭集(提示:请充分运用定理2.4.1中的结论. )
证:要证
是闭集,即
.
因对任意的
所以
于是
又因
所以
要使(*)成立,只须
或
即对任意的
有x
.
第6题
设X为非空集合.
为X的子集族并且满足定理2.4.3中的条件(1),(2)和(3).证明X有唯一的一个拓扑
使得.
恰为拓扑空间
的全体闭集构成的集族.
第7题
设X是一个拓扑空间证明:X是一个正则空间当且仅当如果xєX,A是X中的一个闭集,使得
,则x和A分别有开邻域U和V使得c(U)∩c(V)=Ф.
第8题
设
是两个拓扑空间,并且Y⊂X:证明:
(1) 如果
的一个子空间,则内射i:Y→X是一个连续映射;
(2) 如果内射i:Y→X是一个连续映射,则
因此我们说:相对的拓扑是使内射连续的最小的拓扑
第10题
设X是一个集合.则X的子集族
是X的同一拓扑的两个基的充分条件是
满足条件:
(1)若
,则存在
使得
;
(2)若
,则存在
使得
.
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是一个拓扑空间,其中∞是任何一个不属于X的元素.令
证明
是一个拓扑空间.
证明:对于
的紧致开拓扑而言,映射r连续.
