题目内容
（请给出正确答案）
在集合R2中给定一个子集族.
验证R2有唯一的拓扑
为它的一个子基,令
A = {(x.y)∈R2:x +y=1}.
问A作为拓扑空间
的一个子空间时有什么特点？(提示:证明拓扑空间
是一个离散空间. )
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第7题
设X是一个集合.则X的子集族
是X的同一拓扑的两个基的充分条件是
满足条件:
(1)若
,则存在
使得
;
(2)若
,则存在
使得
.
第8题
设
为R2的一组基.且
证明:在R2中存在唯一的线性变换σ，使
。并且对于a=(3,4)T,求σ(a)。
第9题
设X是一个拓扑空间;
是X中的一个子集族证明:如果对于每一个
,集.合Ay的导集是闭集,则集合
的导集是闭集(提示:请充分运用定理2.4.1中的结论. )
证:要证
是闭集,即
.
因对任意的
所以
于是
又因
所以
要使(*)成立,只须
或
即对任意的
有x
.
第10题
设X为非空集合.
为X的子集族并且满足定理2.4.3中的条件(1),(2)和(3).证明X有唯一的一个拓扑
使得.
恰为拓扑空间
的全体闭集构成的集族.
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为连通子集.
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