令R[x]表示所有系数为实数的关于x的多项式组成的集合,验证R[x]关于多项式的加法运算构成。

令M_n(R)表示元素为实数的所有n阶方阵组成的集合。验证M_n(R)关于矩阼的加法运算构成群，并说明M_n(R)关于矩阵的乘法运算所作成的代数结构不能构成群。

设其中

(1)证明A的全体实系数多项式,对于矩阵多项式的加法和数量乘法构成实数域上的线性空间.

(2)求这个线性空间的维数及一组基

设X是一个拓扑空间.令

证明:是映射空间Rx(一致收敛度量)的一个闭子集(因此它作为Rx的度量子空间是完备的).

检验下列集合对于所给的运算是否构成实数域上的线性空间:

(1)全体实对称(反称，上三角形)矩阵，对于矩阵的加法与标量乘法;

(2)次数等于n(n≥1)的实系数多项式全体,对于多项式的加法与乘法;

(3)平面上全体向量,对于向量的加法与如下定义的标量乘法:ka=a;

(4)全体正实数R⁺,加法和标量乘法定义为:

验下列集合对指定的运算是否构成实数域上:的线性空间。

(1)全体n阶对称(反对称、上三角形，可逆)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法。

(2)次数等于n(n≥1)的实系数一元多项式，对于多项式的加法和数与多项式的乘法。

(3)平面上的全体向量，对于向量的加法和如下定义的数量乘法:k₀a=a.

(4)全体正实数R⁺，加法和数量乘法定义为

其中a,b∈R⁺,k∈R.

实序列x[k]的自相关函数为r_x[n]定义为

(1)试确定r_x[n]的二变换R_x(z)及ROC。

(2)设试计算R_x(z)及r_x[n]。

非零实数集合R*关于乘法运算所构成的代数结构与实数集合R关于加法运算+所构成的代数结构(R,+)同构吗？为什么？

证明：正实数集合R*关于乘法运算所构成的代数结构与实数集合R关于加法运算+所构成的代数结构(R,+)同构。

设n次多项式的全体构成的集合为对于通常的多项式加法和乘数运算，判断Q[x]_n是否构成向量空间。