考虑映射空间R'(点式收敛拓扑),其中I=[0,1].对于每一个iєZ.,定义使得对于任意xєI有fi(
考虑映射空间R'(点式收敛拓扑),其中I=[0,1].对于每一个iєZ.,定义使得对于任意xєI有fi(x)=x’证明:R1中的序收敛,但其极限不是一个连续映射.
考虑映射空间R'(点式收敛拓扑),其中I=[0,1].对于每一个iєZ.,定义使得对于任意xєI有fi(x)=x’证明:R1中的序收敛,但其极限不是一个连续映射.
第2题
设X和Y是两个拓扑空间.映射使得对于每一个X有
e(f,x)=f(x) 称为赋值映射证明:对于的紧致开拓扑而言,赋值映射e是一个连续映射.
第3题
设X为Tychonoff空间,且是可数集,证明对任一feRx(点式收敛的拓扑)都存在(X,R)中的序列<fi>收敛于f.
第4题
定义映射p:1→S1,使得对于任何tєI有
其中1=[0,1],证明:
(1)p是满的连续闭映射:
(2)例3.3.2中的商空间I/R与S1同胚.
第5题
第6题
设X,Y为集合,a∈X,b∈Y定义映射,使得对于任意,使得对于任意.证明:
(1)都是一 一映射.
(2)
(3)
(4)为取常值a的映射,为取常值b的映射,其中pi是XxX的第i个投射,i= 1.2.
第7题
何x,yєX
d(f(x)f(y))≤ap(x,y)
设X是一个紧致的度量空间f:X→是一个压缩映射.证明:有唯一的一个不动点,即存在唯一的一个点:єX使得f(z)=z.
第8题
设X,Y为集合,定义,使得对于任意,.证明:
(1)△是一 一映射.
(2)Pi。△=ix,(i=1,2).
(3)△(X)即定义1.4.1中的对角线.
第9题
定义映射p:R→S1,使得对于任何t∈R有
证明:p是一个离映射.(提示:事实上p是一个开映射.)
第10题
从欧氏平面R2到实数空间R的映射m,s:R2→R定义为:对于任何x = (x1,x2),
m(x) = max{ x1,x2}
s(x)=x1+x2
证明:m和s都是连续映射.(提示:分别用R2的度量p1和ρ2(参见习题5).)
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