R为实数集，定义以下6个函数f₁，f₂，...，f₆，x，y∈R有那么，其中有个是R上的二元运算，有

R为实数集,定义以下6个函数f₁,f₂,f₃,f₄,f₅,f₆,对任意x,y∈R有

y|.请指出哪些函数是二元运算,哪些函数是可交换的,哪些函数是可结合的,关于哪些函数有幺元,关于哪些函数有零元,关于哪些函数有逆元.

设R是实数集,定义函数如下:,有试问:（1)这4个函数是R上的二元运算的有多少个？.（2)可

设R是实数集,定义函数如下:,有

试问:

(1)这4个函数是R上的二元运算的有多少个？.

(2)可交换的二元运算有多少个？

(3)可结合的二元运算有多少个？

(4)有单位元的二元运算有多少个？

设R是实数集，定义函数f₁，f₂，f₃，f₄如下：任给x，y∈R，有试问：（1)这四个函数中，R

设R是实数集，定义函数f₁，f₂，f₃，f₄如下：任给x，y∈R，有

试问：

(1)这四个函数中，R上的二元运算有多少个？

(2)可交换的二元运算有多少个？

(3)可结合的二元运算有多少个？

(4)有单位元素的二元运算有多少个？

设A=（R，* )，其中R是实数集，运算*定义为x*y=[x，y]，其中符号[x，y]表示不小于x和y的最小整数，又设

设 R为实数集,映射σ、 满足σ:R→R,σ（x)=x²+2x+1,τ:R→R,r（x)=x/2.（1)求τ○σ,σ○τ.（2)对于τ、σ

设 R为实数集,映射σ、 满足σ:R→R,σ(x)=x²+2x+1,τ:R→R,r(x)=x/2.

(1)求τ○σ,σ○τ.

(2)对于τ、σ中的双射函数求反函数.

在实数集R上定义一个二元关系:证明:（1)~是R上的一个等价关系（2)任一等价类ā可以找到一个惟一的

在实数集R上定义一个二元关系:

证明:(1)~是R上的一个等价关系

(2)任一等价类ā可以找到一个惟一的代表,它属于[0,1),从而R对于这个关系的商集(记作R/Z)与区向[0,1)之间有一个一一对应

证明:为代数结构的同态(这里R₊为正实数集,R为实数集,-为数乘运算).它是否为一同构映射？为什么？

证明实数集合R有以集族 为基的拓扑,称为R的右手拓扑),并且（1) 将写出来.（2) 设A⊂

证明实数集合R有以集族

为基的拓扑,称为R的右手拓扑),并且

(1) 将写出来.

(2) 设A⊂R,求A在拓扑空间中的闭包.