设B是度量空间X中闭集,证明必有一列开集01,01,...0n,...包含B,而且

设BC[a,b],证明度量空间C[a,b]中的集.{fI当i∈B时f（t)=0}.C[a,b]中的闭集,而集A={fI当t∈B时,|f（t)|＜a}（a＞0)为开集的充要条件是B为闭集.

若A,B为拓扑空间X的隔离的子集,且A U B为开集（闭集),证明A,B都是开集（闭集).

设E及F是度量空间中两个集,如果d（E,F)＞0,证明必有不相交开集0及G分别包含正及F.

设{An}是一列集合，作证明{Bn}是一列互不相交的集，而且

设U为拓扑空间X的开集.证明:若X的紧致闭集族满足条件∩A⊂U,则存在的有限子满足条件(提示:可以应用加一点紧致化)

设（X,ρ)是一个离散的度量空间.证明:（1) X的每一子集都是开集;（2) 如果Y也是度量空间,则任何映射f:X→Y都是连续的.

集合X的两个度量p₁和ρ₂称为等价的,如果X的子集A是度量空间（X,ρ₁)中的开集当且仅当

A是度量空间(X,P₂)的开集.

设p₁利p₂是集合X的两个等价的度量,Y是一个度量空间f:X→Y.证明f相对于度量p而言是连续的当且仅当f相对于度量P₂而言是连续的.

如果Y是拓扑空间X的一个开（闭)子集,则Y作为X的子空间时特别称为X的开（闭)子空间.证明:（1)如果Y是拓扑空间X的开子空间,则A⊂Y是Y中的一个开集当且仅当A是X的一个开集;（2)如果Y是拓扑空间X的闭子空间,则A⊂Y是Y中的一个闭集当且仅当A是X的一个闭集.

设X是一个拓扑空间证明:X是一个正则空间当且仅当如果xєX,A是X中的一个闭集,使得,则x和A分别有开邻域U和V使得c(U)∩c(V)=Ф.

设X是可分距离空间,为X的一个开覆盖，即是一族开集,使得对每个x∈X,有中开集0,使x∈O,证明必可从中选出可数个集组成X中一个覆盖.