若环R适合:a∈R,a²=a,证明:(1)a∈R,a+a=0 (2)R是交换环

设（R，+)是含1的环,对于任意x,y∈R,定义。证明：（1)（R，⨁，𐍈)是含幺环。（2)令ϕ（x)=x-1,则ϕ是环（R，+

设(R，+)是含1的环,对于任意x,y∈R,定义。

证明：(1)(R，⨁，𐍈)是含幺环。

(2)令ϕ(x)=x-1,则ϕ是环(R，+ )到环(R，⨁，𐍈)的同构映射。

设φ是环R到环的一个同态满射，K为其同态核,NIR

证明:若KN,则N在中象的逆象就是N

若对环R中每个元素a都有a'∈R（d与a相关)使a=ada,则称R为则环.证明:1)p-环是正则环,但反之不成立;2)再指出正则环的子环不一定是正则环;3)对正则环R中任二元素a,b1都有R中幂等元e₁,e₂使Ra=Re，Ra+Rb=Re

设N是环R到环的同态满射φ的核，证明:

设R是一个p²（p为素数)阶环,证明:

设，定义R上的加法+运算和乘法，如下:对于任意，。证明： （R，+)是环，并求出该环的所有零内子。

设，定义R上的加法+运算和乘法，如下:对于任意，。

证明： (R，+)是环，并求出该环的所有零内子。