题目内容
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[主观题]
设X为拓扑空间,Y为紧致的Hausdorff空间,yєY.若Y-{y}同胚于X,证明Y同胚于X的加一点的紧致化X".
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第1题
从拓扑空间X到拓扑空间Y的映射f:X-Y称为常态的,如果Y的任一紧致子集的f原象都是X的紧致子集.证明:从拓扑空间X到局部紧致的Hausdorff空间Y上的一一的连续常态映射是同胚.
第2题
设X,Y为拓扑空间,f:X→Y为连续映射.证明:(1)若X是可数紧致空间,则f(X)也是可数紧致空间。(2)若X是序列紧致空间,则f(X)也是序列紧致空间.
设X,Y为拓扑空间,f:X→Y为连续映射.证明:（1)若X是可数紧致空间,则f（X)也是可数紧致空间。（2)若X是序列紧致空间,则f（X)也是序列紧致空间.
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第3题
设U为拓扑空间X的开集.证明:若X的紧致闭集族满足条件∩A⊂U,则存在的有限子 满足条件
设U为拓扑空间X的开集.证明:若X的紧致闭集族
满足条件∩A⊂U,则存在
的有限子
满足条件
(提示:可以应用加一点紧致化)
第5题
设X1,X2和X3都是拓扑空间.证明:(1)积空间X1xX2同胚于积空间X2xX1;⌘
设X1,X2和X3都是拓扑空间.证明:（1)积空间X1xX2同胚于积空间X2xX1;⌘
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设X1,X2和X3都是拓扑空间.证明:
(1)积空间X1xX2同胚于积空间X2xX1;
(2)积空间(X1xX2)xX3同胚于积空间X1x(X2xX3);
(3)存在一个拓扑空间Y使得积空间X1xY同胚于X1;
(4)如果X≠Ф并且积空间X1xX2同胚于积空间X1xX3,则X2同胚于X3.
第6题
设X和Y是两个拓扑空间,f:X→Y是一个商映射.令R={(x,y)єx2:f(x)=f(y)}证明:(1)R是X中的一个等价关系;(2)Y同胚于商空间X/R.
设X和Y是两个拓扑空间,f:X→Y是一个商映射.令R={（x,y)єx2:f（x)=f（y)}证明:（1)R是X中的一个等价关系;（2)Y同胚于商空间X/R.
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第7题
设A为正则空间X的紧致子集,Y⊂X.证明:如果A⊂Y⊂c(A),则Y是X的一个紧致子集.
设A为正则空间X的紧致子集,Y⊂X.证明:如果A⊂Y⊂c（A),则Y是X的一个紧致子集.
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第8题
设X和Y是两个拓扑空间.映射使得对于每一个X有e(f,x)=f(x) 称为赋值映射证明:对于的紧致开拓扑
设X和Y是两个拓扑空间.映射使得对于每一个X有e（f,x)=f（x) 称为赋值映射证明:对于的紧致开拓扑
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设X和Y是两个拓扑空间.映射
使得对于每一个
X有
e(f,x)=f(x) 称为赋值映射证明:对于
的紧致开拓扑而言,赋值映射e是一个连续映射.
第9题
设X和Y是两个拓扑空间,A是X的一个子集证明:(1) 如果映射f;X→Y是一个同胚,则映射f| A:A→f(A)也是-一个同胚;(2) 如果X可嵌入Y,则X的任何一 一个子空间也可嵌入Y.
设X和Y是两个拓扑空间,A是X的一个子集证明:（1) 如果映射f;X→Y是一个同胚,则映射f| A:A→f（A)也是-一个同胚;（2) 如果X可嵌入Y,则X的任何一 一个子空间也可嵌入Y.
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第10题
拓扑空间X称为伪紧致的,如果对于任一连续映射f:X→Rf(X)都是有界的.证明,度量空间X是紧致的当且仅当X是伪紧致的.
拓扑空间X称为伪紧致的,如果对于任一连续映射f:X→Rf（X)都是有界的.证明,度量空间X是紧致的当且仅当X是伪紧致的.
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