证明，对于有单位元的环来说，加法适合交换律是环定义里其它条件的结果(利用(a+b) (1+1))

设环.证明:环R有单位元当且仅当每个理想R,有单位元并且

其中1是R的单位元,1,是R_i的单位元.

设，定义R上的加法+运算和乘法，如下:对于任意，。证明： （R，+)是环，并求出该环的所有零内子。

设，定义R上的加法+运算和乘法，如下:对于任意，。

证明： (R，+)是环，并求出该环的所有零内子。

设（A,+,.)是一个环,并且对于任意的a∈A,都有a,a=a,这个环称布尔环.证明:（1)对于任意的a∈A,都有a+a=θ,其中θ是加法单位元素;（2)（A,+,·)是可交换环

设Z_nxn.为整数环Z上的n（n＞1)阶全阵环.举例给出其子环S₁,S₂除共同满足S₁S₂

Z_nxn外，并分别满足:

1)S₁与S₂都有单位元，但不相等;

2)S₁与S₂有相同的单位元;

3)S₁有单位元，S₂无单位元;

4)S₁无单位元,S₂有单位元;

5)S₁与S₂都无单位元

设（R，+)是环,A=RR,定义A上的运算分别为的数的加法与乘法,即:对于任意f，g∈A（f+g)（x)=f（x)+g（x)

,(f·g)(x)=f(x)·g(x)，。证明: (A，+)是环。