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[主观题]
设ε1，ε2，...，εn是线性空间V的一组基，是V上的线性变换，证明：可逆当且仅当线性无关。
设ε1，ε2，...，εn是线性空间V的一组基，
是V上的线性变换，证明：可逆当且仅当
线性无关。
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设σ是线性空间V上的线性变换,如果 ,但
证明:
线性无关(k＞1)
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第1题
设σ是线性空间V上的线性变换,如果 ,但 证明: 线性无关(k＞1)
设σ是线性空间V上的线性变换,如果 ,但 证明: 线性无关（k＞1)
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是线性空间V的一组基,T是V的一个线性变换，则T可逆的充分必要条件是
线性无关。第3题
设为数域K上n维线性空间V的线性变换，η1,…,ηn为V的基f1,…,fn为η1,…,ηn
设
为数域K上n维线性空间V的线性变换，η1,…,ηn为V的基f1,…,fn为η1,…,ηn的对偶基
(1)证明:对V的任一线性函数f,f仍是V的线性函数
(2)定义V*到自身的映射*为:
证明:*是V*的线性变换
(3)如在基η1,…,ηn下的矩阵是A,试求*在基f1,…,fn下的矩阵
是n维线性空间V的两个线性变换，证明：
和
是n维线性空间V中的向量组。
且
是可逆矩阵，证明:
与
都是V的基，或者都不是V的基。
是线性空间V的线性变换，已知
第7题
设向量空间V=L(α1，α2，…，αn)，W=L(β1，β2，…，βm)，则( )。
设向量空间V=L（α1，α2，…，αn)，W=L（β1，β2，…，βm)，则（)。
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A.
当且仅当集合{α1，α2，…，αn}
{β1，β2，…，βm}
B.当且仅当向量组α1，α2，…，αn可以由向量组β1，β2，…，βm线性表示
C.当且仅当V的基都是W的基
D.当且仅当dimV≤dimW
第8题
设非空集合对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间，P为可逆矩阵，在V中定义映射T如下：对任意A=(a
设非空集合对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间，P为可逆矩阵，在V中定义映射T如下：对任意A=（a
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设非空集合
对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间，P为可逆矩阵，在V中定义映射T如下：对任意A=(aij)∈V，T(A)=PTAP，其中PT为P的转置矩阵。
(1)验证T是V上的线性变换;
(2)当n=2，求T在V的基
下的矩阵，其中
第9题
设V为n维线性空间，η1,η2,…ηn为V的一个基α1=η1+η2+...+ηn,α2=
设V为n维线性空间，η1,η2,…ηn为V的一个基
α1=η1+η2+...+ηn,α2=η2+...+ηn,...,αn=ηn
(1)证明:α1,α2...,αn为V的一个基
(2)求由基η1,η2,…ηn到基α1,α2...,αn的过渡矩阵
(3)设α在基η1,η2,…ηn下的坐标为(α1,α2...,αn),求α在基α1,α2...,αn下的坐标
第10题
设f是线性空间V上的双线性函数,W是V的线性子空间，令证明:(1)W⊥是V的线性子空间(2)如果W∩
设f是线性空间V上的双线性函数,W是V的线性子空间，令证明:（1)W⊥是V的线性子空间（2)如果W∩
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设f是线性空间V上的双线性函数,W是V的线性子空间，令
证明:(1)W⊥是V的线性子空间
(2)如果W∩W⊥={0},则V=W⊕W⊥
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