题目内容
（请给出正确答案）
[主观题]
就n= 2,3,4指出:（1)恰含n个点的集合一共有多少个拓扑？（2)恰含n个点的拓扑空间一共有多少个同胚等价类？
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第2题
设X1,X2和X3都是拓扑空间.证明:(1)积空间X1xX2同胚于积空间X2xX1;⌘
设X1,X2和X3都是拓扑空间.证明:（1)积空间X1xX2同胚于积空间X2xX1;⌘
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设X1,X2和X3都是拓扑空间.证明:
(1)积空间X1xX2同胚于积空间X2xX1;
(2)积空间(X1xX2)xX3同胚于积空间X1x(X2xX3);
(3)存在一个拓扑空间Y使得积空间X1xY同胚于X1;
(4)如果X≠Ф并且积空间X1xX2同胚于积空间X1xX3,则X2同胚于X3.
第3题
设Y为拓扑空间X的一个子空间,yєY.证明:(1)如果是X的一个子基,则为Y的一个子基.(2)如果是点y在X
设Y为拓扑空间X的一个子空间,yєY.证明:（1)如果是X的一个子基,则为Y的一个子基.（2)如果是点y在X
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设Y为拓扑空间X的一个子空间,yєY.证明:
(1)如果
是X的一个子基,则
为Y的一个子基.
(2)如果
是点y在X中的一个邻域子基,则
IY是点y在Y中的一个邻域子基.
第4题
设为实数集合的下限拓扑空间(见例2.6.1),证明:(1)的每一成员都是既开又闭的集合.(2)若为实数空
设为实数集合的下限拓扑空间（见例2.6.1),证明:（1)的每一成员都是既开又闭的集合.（2)若为实数空
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设
为实数集合的下限拓扑空间(见例2.6.1),证明:
(1)
的每一成员都是既开又闭的集合.
(2)若
为实数空间R的通常的拓扑,则
.
(3)
有一子基为
第5题
设Г为一集合,对于每一为拓扑空间.记为X的以为子基的拓扑.证明:若为X的拓扑,并且对于每一-又则.
设Г为一集合,对于每一
为拓扑空间.记
为X的以
为子基
的拓扑.证明:若
为X的拓扑,并且对于每一-
又则
.
第6题
记实数集合R的通常拓扑为令 证明:(1)是实数集合R的一一个拓扑;(2)拓
记实数集合R的通常拓扑为令 证明:（1)是实数集合R的一一个拓扑;（2)拓
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记实数集合R的通常拓扑为
令
证明:
(1)
是实数集合R的一一个拓扑;
(2)拓扑空间
是一个Hausdorff空间;
(3)拓扑空间
不是正则空间,也不是正规空间.
第8题
设X和Y是两个拓扑空间,A是X的一个子集证明:(1) 如果映射f;X→Y是一个同胚,则映射f| A:A→f(A)也是-一个同胚;(2) 如果X可嵌入Y,则X的任何一 一个子空间也可嵌入Y.
设X和Y是两个拓扑空间,A是X的一个子集证明:（1) 如果映射f;X→Y是一个同胚,则映射f| A:A→f（A)也是-一个同胚;（2) 如果X可嵌入Y,则X的任何一 一个子空间也可嵌入Y.
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