设A为正规空间X的一个闭集.证明:对于任何一个连续映射f:A→[0,1]ⁿ,有一个连续映射g:X→[0,1]ⁿ是映射f的扩张.

设X,Y为拓扑空间,为X的开集族并且证明:映射f:X→Y为连续映射当且仅当对于任意为连续映射.

设X和Y是两个拓扑空间.映射使得对于每一个X有e（f,x)=f（x) 称为赋值映射证明:对于的紧致开拓扑

设X和Y是两个拓扑空间.映射使得对于每一个X有

e(f,x)=f(x) 称为赋值映射证明:对于的紧致开拓扑而言,赋值映射e是一个连续映射.

设X和Y是两个拓扑空间f:X→Y是一个连续映射,证明:如果X是一个空间,则f（X)也是一个空间

设X和Y是两个拓扑空间f:X→Y是一个连续映射,证明:如果X是一个空间,则f(X)也是一个空间.

设X和Y是两个拓扑空间:证明:f;X→Y是一个连续映射当且仅当f;X→f（X)是一个连续映射.

设X和Y是一个拓扑空间,X1⊂X.定义映射

使得对于任何证明:对于的紧致开拓扑而言,映射r连续.

设（X.p)和（Y,d)是两个度量空间f:→Y.映射f称为是一个压缩映射,如果存在实数aє（0,1)使得对于任

何x,yєX

d(f(x)f(y))≤ap(x,y)

设X是一个紧致的度量空间f:X→是一个压缩映射.证明:有唯一的一个不动点,即存在唯一的一个点:єX使得f(z)=z.

设（X,ρ)是一个度量空间.证明映射p:XxX→R是一个连续映射.

设X和Y是两个拓扑空间f:X→Y是一个连续映射.证明:如果X是一个可分空间.则f（X)也是可分的.（这说明可分性是一个连续映射所保持的性质, 并且由此可见,它是一个拓扑不变性质,可商性质.)

设X,Y是两个拓扑空间,又设映射f:X→Y满足条件:对于X的任何一个子集A ,A的象的内部包含于A的内部的象,即:i（f（A))⊂f（i（A)). （1) 证明:如果f是一个满射,则f连续;（2) 举例说明当f不是满射时f可以不是连续映射.