两个拓扑空间{X,TX}和{Y,TY}之间的函数f:X→Y称为同胚,如果它具有下列性质:f是双射（）。满足以上三个性质的函数有时称为双连续

设X和Y是两个拓扑空间,A是X的一个子集证明:（1) 如果映射f;X→Y是一个同胚,则映射f| A:A→f（A)也是-一个同胚;（2) 如果X可嵌入Y,则X的任何一 一个子空间也可嵌入Y.

（1)确定函数f:N×N→N,f（＜x,y＞)=xy是否为单射、满射、双射的,如果不是请说明理由.计算f（N×{1}),f

(1)确定函数f:N×N→N,f(＜x,y＞)=xy是否为单射、满射、双射的,如果不是请说明理由.计算f(N×{1}),f^-1({0}).

(2)设f:N×N→N,f(＜x,y＞)=|x-y|,说明f有什么性质(单射、满射.双射),计算f(N×{0})和f^-1({0}).

设X和Y是两个拓扑空间f:X→Y是一个连续映射.证明:如果X是一个可分空间.则f（X)也是可分的.（这说明可分性是一个连续映射所保持的性质, 并且由此可见,它是一个拓扑不变性质,可商性质.)

考虑二元函数f（x,y)的下面四条性质:（1)f（x,y)在点（x₀,y₀)连续（2)fx（x,y)、fy（x,y)在点（

考虑二元函数f(x,y)的下面四条性质:

(1)f(x,y)在点(x₀,y₀)连续

(2)fx(x,y)、fy(x,y)在点(x₀,y₀)连续

(3)f(x,y)在点(x₀,y₀)可微分

(4)fx(x₀,y₀)、fy(x₀,y₀)存在

若用“PQ"表示可由性质P推出性质Q,则下列四个选项中正确的是().

A.(2)(3)(1)

B.(3)(2)(1)

C.(3)(4)(1)

D.(3)(1)(4)

设X_1,X₂和X₃都是拓扑空间.证明:（1)积空间X₁xX₂同胚于积空间X₂xX1;⌘

设X_1,X₂和X₃都是拓扑空间.证明:

(1)积空间X₁xX₂同胚于积空间X₂xX_1;

(2)积空间(X₁xX₂)xX₃同胚于积空间X₁x(X₂xX₃);

(3)存在一个拓扑空间Y使得积空间X₁xY同胚于X_1;

(4)如果X≠Ф并且积空间X₁xX₂同胚于积空间X₁xX₃,则X₂同胚于X_3.

设X和Y是两个拓扑空间,f:X→Y是一个商映射.令R={（x,y)єx2:f（x)=f（y)}证明:（1)R是X中的一个等价关系;（2)Y同胚于商空间X/R.

设X和Y是两个拓扑空间.分别记xєX和yєY在拓扑空间X和Y中所属的连通分支为C（x)和D（y).设f:X→Y为

连续映射.定义映射

使得对于xєXf(C(x)) = D(f(x)).证明:

(1)映射f的定义是合理的,即如果x₁,x₂єX,使得C(x₁) = C(x₂),则D(f(x₁)) =D(f(x₂));

(2)如果f是一个同胚,则f是一个一一映射.

证明:如果函数u=f（x,y)满足方程式中A,B,C都是常数,且f（x,y)具有连续的三阶偏导数,那么函数和

证明:如果函数u=f(x,y)满足方程

式中A,B,C都是常数,且f(x,y)具有连续的三阶偏导数,那么函数和也满足这个方程.

由.