理想零相位多带滤波器的频率响应定义为试证该滤波器单位脉冲响应为

考虑理想离散时间带阻滤波器，其单位脉冲响应为h[n]，频率响应在-π≤ω＜π条件下为求单位脉冲响应为h[2n]的滤波器的频率响应。

考虑一个理想带通滤波器。其频率响应在-π≤ω≤π内为

求出并画出在下列ω0时，该滤波器的单位脉冲响应h[n]：

随着ω0的增加，h[n]是向原点更集中了吗？

已知FIR滤波器的单位脉冲响应为：

试分别说明它们的幅度特性和相位特性各有什么特点。

考虑一个连续时间理想带通滤波器，其频率响应为

(a)若h(t)是该滤波器的单位冲激响应，确定一个函数g(t)，使之有

(b)当ωc增加时，该滤波器的单位冲激响应是不是更加向原点集中呢，还是不是？

考虑一个理想高通滤波器，其频率响应为

(a)求该滤波器的单位冲激响应h(t)。

(b)当ωc增加时，h(t)是向原点更集中，还是不是？

(c)求s(O)和s(∞)，其中s(t)是该滤波器的阶跃响应。

理想带通特性为

(1)求出该理想带通的单位脉冲响应h_g(n);

(2)写出用升余弦窗设计的滤波器的h(n)表达式，确定N与a之间的关系;

(3)要求过渡带宽度不超过π/16rad。N的取值是否有限制？为什么？

由理想A/D和D/A构成的系统如题1-38图所示。

(1)当重建滤波器的频率响应为

时，画出x[k]、的频谱。

(2)当重建滤波器的频率响应为

时，画出的频谐。

给定如图10-15所示的数字滤波器频率特性:

(1)用冲激不变法,试求原型模拟滤波器频率响应;

(2)用双线性变换法,试求原型模拟滤波器频率响应.

(本题可以用图解法,画出原型模拟滤波器频率响应.)

考虑一个因果的非递归(FIR) 滤波器， 其实值单位脉冲响应h[n] 对于n≥N为零。

(a)假定N为奇数，证明：若h[n]关于对称，即h，则

其中，A(ω)是ω的实值函数。从而得出该滤波器具有线性相位。

(b) 给出一个因果线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应h[n] 的例子， 使其有h[n] =0， n≥5和h[n] ≠0， 0≤n≤4。

(c)假定N为偶数，证明：若h[n]关于若h[n]关于对称，即h，则

其中，A(ω)是ω的实值函数。

(d) 给出一个因果线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应h[n] 的例子， 使其有h[n] =0， n≥4和h[n] ≠0， 0≤n≤3。

在许多滤波问题中，人们总是希望能有一个零相位或线性相位的特性。对于因果滤波器来说，具有零相位是不可能的。然而，在许多数字滤波器的应用场合，如果对信号的处理不一定要实时，那么就不必要使滤波器的单位脉冲响应在n＜0时为零。

当被过滤的数据具有有限长，并且被存储在磁盘或磁带上时，通常应用于数字滤波中的一种方法是把数据先按顺序，然后再颠倒过来通过同一个滤波器来进行处理。

令h[n]是一个具有任意相位特性的内果滤波器的单位脉冲响应。假定h[n]为实序列，其傅里叶变换为，设x[n]是要过滤的数据。这一滤波运算按如下步骤进行：

(a) 方法A：按图6-58(a)所示步骤处理x[n]，得到s[n].

(1) 确定从x[n]到s[n]的总的单位脉冲响应h[n]，并证明它具有零相位特性。

(2)确定|H1(ejω)|，并用|H1(ejω)|和来表示H1(ejω)

(b) 方法B：通过滤波器h[n] 处理x[n] 以得到g[n] [见图6-58(b) ] ， 并且让x[n] 倒置过来通过h[n] 以得到r[n]，而输出y[n]是g[n]与r[-n]之和。这一纽复合运算可以用一个输入为x[n]，输出为y[n]，单位脉冲响应为H2[n]的滤波器来表示。

(1)证明该复合滤波器h2[n]具有零相位特性。

(2)确定|H2(ejω)|，并用来表示|H2(ejω)| 。

(c)假若已知一个有限长序列，现欲对它进行带通、零相位过滤;再者，假定已知带通滤波器h[n]，其频率响应由图6-58(c)给出，它具有所需的模特性，但相位是线性的。为了实现零相位，既可以应用方法A，也可以应用方法B.确定并画出|H1(ejω)|和|h2(ejω)|。根据这些结果， 应该用哪一种方法才能实现所要求的带通滤波？为什么？更一般地讲，若h[n]具有所要求的模特性，但相位特性是非线性的，那么为了得到零相位特性，哪一种方法更为可取？