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[主观题]
设X和Y是两个拓扑空间f:X→Y.证明以下两个条件等价:(1)f连续;(2)对于Y的任一子集B,B的内部的原
设X和Y是两个拓扑空间f:X→Y.证明以下两个条件等价:（1)f连续;（2)对于Y的任一子集B,B的内部的原
设X和Y是两个拓扑空间f:X→Y.证明以下两个条件等价:
(1)f连续;
(2)对于Y的任一子集B,B的内部的原象包含于B的原象的内部,B
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第2题
设X和Y是两个拓扑空间f:X→Y是一个连续映射,证明:如果X是一个空间,则f(X)也是一个空间
设X和Y是两个拓扑空间f:X→Y是一个连续映射,证明:如果X是一个空间,则f（X)也是一个空间
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设X和Y是两个拓扑空间f:X→Y是一个连续映射,证明:如果X是一个
空间,则f(X)也是一个
空间.
第3题
设X,Y是两个拓扑空间,又设映射f:X→Y满足条件:对于X的任何一个子集A ,A的象的内部包含于A的内部的象,即:i(f(A))⊂f(i(A)). (1) 证明:如果f是一个满射,则f连续;(2) 举例说明当f不是满射时f可以不是连续映射.
设X,Y是两个拓扑空间,又设映射f:X→Y满足条件:对于X的任何一个子集A ,A的象的内部包含于A的内部的象,即:i（f（A))⊂f（i（A)). （1) 证明:如果f是一个满射,则f连续;（2) 举例说明当f不是满射时f可以不是连续映射.
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第4题
设是两个拓扑空间,并且Y⊂X:证明:(1) 如果的一个子空间,则内射i:Y→X是一个连续映射;(2)
设是两个拓扑空间,并且Y⊂X:证明:（1) 如果的一个子空间,则内射i:Y→X是一个连续映射;（2)
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设
是两个拓扑空间,并且Y⊂X:证明:
(1) 如果
的一个子空间,则内射i:Y→X是一个连续映射;
(2) 如果内射i:Y→X是一个连续映射,则
因此我们说:相对的拓扑是使内射连续的最小的拓扑
第5题
设X和Y是两个拓扑空间.映射使得对于每一个X有e(f,x)=f(x) 称为赋值映射证明:对于的紧致开拓扑
设X和Y是两个拓扑空间.映射使得对于每一个X有e（f,x)=f（x) 称为赋值映射证明:对于的紧致开拓扑
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设X和Y是两个拓扑空间.映射
使得对于每一个
X有
e(f,x)=f(x) 称为赋值映射证明:对于
的紧致开拓扑而言,赋值映射e是一个连续映射.
第6题
设X和Y是两个拓扑空间.分别记xєX和yєY在拓扑空间X和Y中所属的连通分支为C(x)和D(y).设f:X→Y为
设X和Y是两个拓扑空间.分别记xєX和yєY在拓扑空间X和Y中所属的连通分支为C（x)和D（y).设f:X→Y为
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连续映射.定义映射
使得对于xєXf(C(x)) = D(f(x)).证明:
(1)映射f的定义是合理的,即如果x1,x2єX,使得C(x1) = C(x2),则D(f(x1)) =D(f(x2));
(2)如果f是一个同胚,则f是一个一一映射.
第7题
集合X的两个度量p1和ρ2称为等价的,如果X的子集A是度量空间(X,ρ1)中的开集当且仅当
集合X的两个度量p1和ρ2称为等价的,如果X的子集A是度量空间（X,ρ1)中的开集当且仅当
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A是度量空间(X,P2)的开集.
设p1利p2是集合X的两个等价的度量,Y是一个度量空间f:X→Y.证明f相对于度量p而言是连续的当且仅当f相对于度量P2而言是连续的.
第8题
证明:(1)实数下限拓扑空间为T4空间.(2)两个实数下限拓扑空间的积空间不是正规空间.(提示:考虑RxR中的两个子集A=|(x,y)єRxR:x+y=1,x为有理数|和B=|(x,y)єRxR:x+y=1,x为有理数}.)
证明:（1)实数下限拓扑空间为T4空间.（2)两个实数下限拓扑空间的积空间不是正规空间.（提示:考虑RxR中的两个子集A=|（x,y)єRxR:x+y=1,x为有理数|和B=|（x,y)єRxR:x+y=1,x为有理数}.)
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第9题
设X和Y是两个拓扑空间,A是X的一个子集证明:(1) 如果映射f;X→Y是一个同胚,则映射f| A:A→f(A)也是-一个同胚;(2) 如果X可嵌入Y,则X的任何一 一个子空间也可嵌入Y.
设X和Y是两个拓扑空间,A是X的一个子集证明:（1) 如果映射f;X→Y是一个同胚,则映射f| A:A→f（A)也是-一个同胚;（2) 如果X可嵌入Y,则X的任何一 一个子空间也可嵌入Y.
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第10题
设X和Y是两个拓扑空间:证明:f;X→Y是一个连续映射当且仅当f;X→f(X)是一个连续映射.
设X和Y是两个拓扑空间:证明:f;X→Y是一个连续映射当且仅当f;X→f（X)是一个连续映射.
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