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[主观题]
证明若积空间X1xX2为连通空间,则坐标空间X1,X2都是连通空间.
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第2题
设X1,X2和X3都是拓扑空间.证明:(1)积空间X1xX2同胚于积空间X2xX1;⌘
设X1,X2和X3都是拓扑空间.证明:（1)积空间X1xX2同胚于积空间X2xX1;⌘
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设X1,X2和X3都是拓扑空间.证明:
(1)积空间X1xX2同胚于积空间X2xX1;
(2)积空间(X1xX2)xX3同胚于积空间X1x(X2xX3);
(3)存在一个拓扑空间Y使得积空间X1xY同胚于X1;
(4)如果X≠Ф并且积空间X1xX2同胚于积空间X1xX3,则X2同胚于X3.
第3题
拓扑空间x称为局部道路连通的.如果对任一xєX以及x的任一邻域U,存在着x的道路连通邻域V,包含于
U,拓扑空间X的子集A称为局部道路连通子集,若A作为X的子空间是局部道路连通空间.证明:
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(1)每一局部道路连通空间都是局部连通空间.
(2)若X为局部道路连通空间f:X→Y为连续开映射,则f(X)为局部道路连通空间.
(3)若X1,X2,…,Xn为局部道路连通空间,则积空间X1xX2x…xXn为局部道路连通空间.
(4)局部道路连通空间 X中开集A为道路连通子集,当且仅当A为连通子集.
第4题
设X,Y为拓扑空间f:X→Y为连续映射证明若Z为X的连通子集,则f(Z)为Y的连通子集.
设X,Y为拓扑空间f:X→Y为连续映射证明若Z为X的连通子集,则f（Z)为Y的连通子集.
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为非空集合X的两个拓扑,且
证明若
为连通空间则
也是连通空间.第9题
设Y为拓扑空间X的连通子集.证明若A,B为X的无交的开集(或闭集)使得Y⊂AUB,则或者Y⊂A或者Y⊂B.
设Y为拓扑空间X的连通子集.证明若A,B为X的无交的开集（或闭集)使得Y⊂AUB,则或者Y⊂A或者Y⊂B.
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的积空间
正则或完全正则空间,则每一坐标空间相应地为具有同一性质的空间.
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