题目内容
（请给出正确答案）
[主观题]
设都是X的拓扑,并且证明若为To,T1或Hausdorff空间.则相应地为To,
设
都是X的拓扑,并且
证明若
为To,T1或Hausdorff空间.则
相应地为To,T1或Hausdorff空间.
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设Г为一集合,对于每一
为拓扑空间.记
为X的以
为子基
的拓扑.证明:若
为X的拓扑,并且对于每一-
又则
.
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第1题
设Г为一集合,对于每一为拓扑空间.记为X的以为子基的拓扑.证明:若为X的拓扑,并且对于每一-又则.
第2题
证明任意非空集合X都有一个拓扑,满足条件:(1)为T1空间;(2)若为X的拓扑,且.⌘
证明任意非空集合X都有一个拓扑,满足条件:（1)为T1空间;（2)若为X的拓扑,且.⌘
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证明任意非空集合X都有一个拓扑,
满足条件:(1)
为T1空间;(2)若
为X的拓扑,且.
为的真子族,则
不是T1空间.
为非空集合X的两个拓扑,且
证明若
为连通空间则
也是连通空间.第4题
设是两个拓扑空间,并且Y⊂X:证明:(1) 如果的一个子空间,则内射i:Y→X是一个连续映射;(2)
设是两个拓扑空间,并且Y⊂X:证明:（1) 如果的一个子空间,则内射i:Y→X是一个连续映射;（2)
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设
是两个拓扑空间,并且Y⊂X:证明:
(1) 如果
的一个子空间,则内射i:Y→X是一个连续映射;
(2) 如果内射i:Y→X是一个连续映射,则
因此我们说:相对的拓扑是使内射连续的最小的拓扑
第5题
设X,Y为拓扑空间,为X的开集族并且证明:映射f:X→Y为连续映射当且仅当对于任意为连
设X,Y为拓扑空间,
为X的开集族并且
证明:映射f:X→Y为连续映射当且仅当对于任意
为连续映射.
第6题
设X为非空集合.为X的子集族并且满足定理2.4.3中的条件(1),(2)和(3).证明X有唯一的一个拓扑使得
设X为非空集合.为X的子集族并且满足定理2.4.3中的条件（1),（2)和（3).证明X有唯一的一个拓扑使得
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设X为非空集合.
为X的子集族并且满足定理2.4.3中的条件(1),(2)和(3).证明X有唯一的一个拓扑
使得.
恰为拓扑空间
的全体闭集构成的集族.
第9题
设X1,X2和X3都是拓扑空间.证明:(1)积空间X1xX2同胚于积空间X2xX1;⌘
设X1,X2和X3都是拓扑空间.证明:（1)积空间X1xX2同胚于积空间X2xX1;⌘
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设X1,X2和X3都是拓扑空间.证明:
(1)积空间X1xX2同胚于积空间X2xX1;
(2)积空间(X1xX2)xX3同胚于积空间X1x(X2xX3);
(3)存在一个拓扑空间Y使得积空间X1xY同胚于X1;
(4)如果X≠Ф并且积空间X1xX2同胚于积空间X1xX3,则X2同胚于X3.
为X的任意子集族,A,B为X的任意子集,证明:
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