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更多“(a)从第2章中列举一个仅具有分立谱线的哈密顿量(谐振子除外…”相关的问题
第1题
量为Eb)和ψb.(能量为Eb).它们是正交归一的并且非简并(假设Ea＜Eb).现在我们引人一个微扰H,具有下列矩阵元.
其中h是一个常数(不是普朗克常数).
(a)求微扰哈密顿量的严格本征值.
(b)用二次微扰理论估算微扰系统的能量.
(c)用变分原理估算微扰系统的基态能量,取以下试探波函数
其中
为可调参数.注意:这种线性组合是保证ψ归一化的一种简便方法.
(d)对比你的(a),(b)和(e)为什么在这种情况下,变分原理得到的结果这么准确？.
第3题
原子间的库仑相互作用为
(a)解释原子之间的库仑相互作用.假设|x1|和|x2|都远小于R,证明:
(b)证明总的哈密顿量(H0+H')可分为两个谐振子哈密顿量:
其中变量变换为
(c)该哈密顿量的基态能量显然为
如果没有库仑相互作用的话,
,其中
.假设
证明:
原子间存在一个相互吸引势能,它的大小和原子间距的六次方成反比.这就是两中性原子间的范德瓦尔斯相互作用.
(d)现在利用二级微扰理论做同样的计算.无微扰态的形式是
(x2),其中
(x)是质量为m,劲度系数为k的单粒子振子的波函数:
是微扰H'对基态能量的二级修正(注意到一级修正为零).
第4题
某个二能级体系的哈密顿量为
这里|1＞,|2＞是正交归一基,
是量纲为能量的一个实数.求出它的本征值和归一化的本征矢(用|1＞和|2＞的线性组合).相应于这个基表示
的矩阵H是什么？
第5题
假设对于一个特定的量子系统,哈密顿量H是某个参数λ的函数,令
和
为H(A)的本征值和本征函数.赫尔曼一费曼定理指出:
假定Ea非简并,或(如果简并的话)ψn为简并本征波函数“好”的线性组合.
(a)证明赫尔曼一费曼定理.提示:利用式6.9.
(b)将该定理应用于一维简谐振子:
(i)令λ=w(这将得出关于V平均值的公式).
(ii)令λ=h(这将得到(T＞).
(iii)令λ=m(这将得到关于和的一个关系式).将你的答案与习题2.12
及维里定理(习题3.31)相比较.
第6题
求半谐振子势
的允许能级.
例如,上式表示一个弹簧只能被拉伸而不能被压缩的情况.提示:本题仅需要一些细致的思考,实际运算很少.
第8题
将更多地提到这一问题，并给出一些实际应用。现在，我们只对相关函数及其有关性质进行简单介绍。设x(t)和y(t)是两个信号， 相关函数(correlation function) 定义为
函数φ∞(t) 通常称为信号φ∞(t) 的自相关函数(autocorrelation function) ， 而0(t) 则称为互相关函数(cross-corre1ation function) 。
(a) φ∞(t)和φx(t)之间是什么关系？
(b) φ∞(t)的奇部.
(c)假设y(t)=x(t+T)将φ∞(t)和φ∞(t)用φ∞(t)来表示
第9题
第10题
A.第二次鸦片战争——鸦片战争
B.五四运动——新文化运动
C.美国内战——美国独立战争
D.二战——一战
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